矩陣的2次方計算A^2,A^3找規律，然後用歸納法證明；若r（A）=1，則A=αβ^T，A^n=（β^Tα）^（n-1）A；分拆法，A=B+C，BC=CB，用二項式公式展開，適用於B^n易計算，C的低次冪為零：C^2或C^3=0。
矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統的解的最優方法是將矩陣的特徵向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。
