（1）A^2=A，即是A^2-A=0，即A(A-E)=0，所以R(A)+(A-E)小於或等於n，又因為A+(E-A)=E，所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大於或等於n，於是R(A)+(A-E)＝n。
（2）由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，類似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解。
（3）A的特徵值只能是1或0。證明如下：設λ是A的任意一特徵值，α是其應對的特徵向量，則有Aα=λα，於是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0，因為α不是零向量，於是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=0
（4）矩陣A一定可以對角化。因為A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一個非零列都是λ＝0的特徵向量，同理A的每一個非零列都是λ＝1的特徵向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩陣A有n個線性無關的特徵向量，所以A可以對角化。
