極限不存在說明一定不連續是不對的。連續一定極限存在，極限存在不一定連續。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
函式f(x)在x0連續，當且僅當f(x)滿足以下三個條件：f(x)在x0及其領域內有定義；f(x)在x0的極限存在；f(x)在x0的極限值與函式值f(x0)相等。
在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當Δx=0（即x=x0）時Δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|Δx|這個條件。
